控制阻抗的计算
SI6000 和 CITS25 中的二维场求解
J. Alan Staniforth 博士
| |
应用说明 135 控制阻抗的计算 |
|
| 一般信息
印刷电路板上的一对导线的控制或特性阻抗是电压与传播脉冲或分步电压的电流的之比。由于脉冲或步长在传播时并未改变，因此传播路径上各点阻抗都必须相同。当脉冲遇到控制阻抗的阻抗变化时将会出现反射。 对于接地层上的单路迹线，控制阻抗为：
其中 L 是感应系数，C 是每单位迹线长度的电容。 接地层上的相同交叉部分（即已平衡）的一对迹线的阻抗为：
对地，当它们受到大小相等的反向对地电压的激励时。Zoo 亦称单模式 阻抗。 Loo 和 Coo 分别是单模式感应系数和每单位长度的电容。迹线之间的阻抗为差分阻抗，
通常当迹线厚度为 0 时，只可能为有限数量的迹线配置算出用于各种电感和电容的数学等式。 作为蚀刻流程的结果，现代迹线相对较厚，并且不是矩形。在这些环境下，电感和电容的值以及相应的阻抗值都必须直接从电磁场计算获取。 对于具有同一底板的带状线，绝缘常数 er 可以写为
其中 c 是光速。 对于表面式和嵌入式的微波传输带，(1.1)，可以写为
其中 Cair 是和底板相同的配置在空气中的电容。有效的绝缘常数为
用于Zoo 的类似等式同样适用。 2. 电容的计算
第 1 节中的等式，假定电场可从静电场的理论获取。在迹线尺寸相对于脉冲或步长中的最高频率的组件的波长较小的情况下，这是可以接受的。 当迹线处于对地电压V时，则
其中 Q 是每单位长度迹线的电荷。在 (2.1) 中，C 可以是第 1 节中的任意电容。迹线交叉部分的电荷密度 q 不均匀：在迹线的拐角和边缘处的密度较高。当涉及到脉冲速率和频率时，电荷密度由迹线表面决定。如果已知 q 的分布，那么
有多种方法可用于估算 q。最为常用的方法是有限元法。在此方法中，横向层面中包含的迹线将被分为许多大小不同的三角形片断。在三角形节点处的未知电压之间的关系是以最小静电能量为基础的，并且是已知的。一些节点位于迹线表面之上。这些节点上的电压是已知的。随后通过对矩阵等式求解，可以得到所有未知电压和迹线表面的电荷密度。这一方法的困难在于，迹线附近空间的电压是无需计算的。此外，由于大多数场求解程序使用这一方法，很难确保对迹线拐角处的高电荷密度进行充分建模，使得程序每次对一个较小的片断多次建元。片断的大小由软件确定。程序将在相邻步长之间几乎没有变化时终止运行。 CITS25 和 SI6000 中用于估算 q 的方法是矩量法。 这一方法是以静电场中电压和电荷的直接关系为基础的。在两个尺寸区域中，距离电荷 q 为 r 处的 V是
其中 eo 是绝对介电常数，er 是区域的绝缘常数。(2.3) 可写为
其中 G 也称格林函数。对于简单二维区域，G 可通过比较 (2.4) 和 (2.3) 得到。当 q 是连续分布的电荷，则改为读取：
要应用矩量法，可以假定迹线具有已知电压 V。迹线表面假设为具有预先确定的非线性分布的节点。这些节点非常接近于拐角。未知电荷 qj 将分配给这些节点。节点之间的电荷分布假定为线性。使用 (2.5)，但其中q 由 qj替换。节点上的已知电压Vi将从所有节点上的电荷计算得出。这也称为点匹配。(2.5) 中的积分可以多次使用高斯积分得到。这一过程将得到矩阵等式
其中 A 是已知的方矩阵，通过使用适当的格林函数 (2.5) 的应用获得，q 是未知节点电荷的向量，V 是已知节点电压的向量。对 (2.6) 求解得到节点电荷。使用节点电荷，迹线电荷 Q 将通过假定节点之间的电荷分布为线性变化而相加得到，借助于此，可以计算电容和阻抗。对于微波传输带，需要两次计算，第一次是底板，第二次是空气。 对于计算的简述如上。上述计算使用和迹线配置相应的适当格林函数。有关用于获取和迹线配置相应的适当格林函数的步骤，请参阅下一节 3. 格林函数简单的二维格林函数的概要如 (2.4) 所示。但是此值不能直接用于计算，因为存在接地层和底板表面。 在带状线中，有两个接地层。两者之间存在的 q 电荷处于均匀的底板中。图 1 显示了一般分布。
Fig. 1. 接地层之间的电荷 电荷的图像由正负标记构成，并向各个方向无限扩展。可以假想将接地层移走，并用电荷图像来替代。格林函数可通过求和，使用数学方法从无数电荷的各个效果得到，其中 q 等于 1。 图 2 显示了表面微波传输带底板上的电荷 q 。
图 2. 底板表面上的电荷 在底板表面和接地层之间出现的多次反射将产生镜像电荷。这些镜像电荷与 q 的极性相反，并将随距离增加而减小振幅。接地层和底板表面由无数镜像电荷所替代。当 q 等于 1 时,格林函数是这些镜像电荷的效应的累积。这一总和不能通过数学计算得到。幸好这一无限大的总和迅速随着项数的增加收敛于一点。这一总和在数学上易于计算，并可以得到高精度的结果。 嵌入式微波传输带的格林函数，得自于表面微波传输带的类似方式，但是镜像的模式却类似于带状线的模式。 4.程序用于计算阻抗的程序假定生产中的迹线蚀刻为梯形。对于单一迹线，将使用迹线的完整宽度。对于一对迹线，将假定使用对称方式。随后将只使用一条迹线上的节点。将最先计算出单模式阻抗 Zoo。随后使用 (1.3) 得到差分阻抗。在该程序之中，所有尺寸都将标准化到底板厚度。这表明任何一组协调的尺寸都可用于定义迹线配置。在软件开发期间，检查了节点数及其非线性分布的多种组合。计算得到的阻抗将与在个别情况下得到的精确阻抗相比较。这一比较显示由 CITS25 和 SI6000 计算的阻抗至少在 20 -150 欧姆范围内准确到 3 位有效数字。 |
| 了解有关 George Green 的详细信息，是这一 19 世纪的英国数学家创建了格林函数 |
| J. Alan Staniforth 博士 Alan Staniforth 于 1959 从英国 Sheffield 大学获取了博士学位。它在 1960 至 1992 是英国 Salford 大学声电学院的全职讲师，目前是兼职讲师。他已经出版了有关微波传输带传输和重粒子加速器中的电磁瞬变的多篇论文。多年以来，他还是英国科学与工程研究委员会的顾问。Staniforth 博士现在是 Polar Instruments Ltd 的顾问。 |
 Polar Instruments Ltd 电话：+44 1481 253081 传真：+44 1481 252476 Polar Instruments 2001 |
 |
| © Polar Instruments 2001。Polar Instruments 致力于不断完善的策略。因此本文档中的说明可能会在不加通知的情况下作出更改。认可所有商标。 | |
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
